Μαθηματικά Επίκαιρα

Mathematical News - Cover [GR]Τίτλος: Μαθηματικά Επίκαιρα
Συγγραφέας:Τεύκρος Μιχαηλίδης
Εκδόσεις: Πόλις

Μερικές ειδήσεις τις δεχόμαστε παθητικά. Είτε γιατί τη στιγμή της πρόσληψης το μυαλό μας είναι σε αδράνεια, είτε πάλι γιατί ο αυτονόητος χαρακτήρας τους δεν προκαλεί κανένα προβληματισμό. Μερικές άλλες αντίθετα, είτε λόγω περιστάσεων είτε λόγω ιδιοσυγκρασίας ενεργοποιούν στη σκέψη μας μια αλυσιδωτή διαδικασία, μια συνειρμική ακολουθία με απροσδόκητη συχνά κατάληξη.

Σ’ αυτή τη δεύτερη κατηγορία ανήκουν και τα περιστατικά που οδήγησαν στα 33 κείμενα αυτού του τόμου. Ξεκινώντας από κάποια αφορμή της τρέχουσας ή της επετειακής επικαιρότητας, επιχειρήσαμε αρχικά το μαθηματικό σχολιασμό της είδησης – ότι κι αν αυτό σημαίνει – αφήνοντας στη συνέχεια τη σκέψη να πλανηθεί ελεύθερα, άλλοτε στη χώρα των Μαθηματικών κι άλλοτε σε σελίδες της ιστορίας των επιστημών. Έτσι φτάσαμε για παράδειγμα από τη γιορτή του Αγίου Βαλεντίνου στους φίλους αριθμούς των Πυθαγορείων, από ένα πολεοδομικό σκάνδαλο στο ισοπεριμετρικό πρόβλημα της Διδούς, από ένα στημένο τηλεοπτικό δελτίο ειδήσεων, μέσω Χόλυγουντ, στην αξιωματική θεμελίωση της Γεωμετρίας. Ένα τετραπλό τζακ ποτ στο Τζόκερ μας οδήγησε όπως ήταν φυσικό στις πιθανότητες, η αλλαγή ηγεσίας του ΠΑΣΟΚ στα φιλολογικά σαλόνια του διαφωτισμού και το «φακέλωμα» των σκύλων με μικροτσίπ στην εις άτοπον απαγωγή. Σε μερικές περιπτώσεις κρίναμε σκόπιμο να επισυνάψουμε στο άρθρο μια «μαθηματική εκδρομή» με περισσότερα μαθηματικά στοιχεία σχετικά με το θέμα του άρθρου.

Όλα τα άρθρα περιλαμβάνουν βιβλιογραφικές παραπομπές για τον αναγνώστη που θέλει να διευρύνει τις γνώσεις του πάνω στο θέμα, καθώς και μια μικρή εισαγωγή που γράφτηκε εκ των υστέρων. Με σκοπό να αναπαραγάγει το κλίμα των ημερών κατά τις οποίες δημιουργήθηκε το κυρίως κείμενο.

Δημοσιεύτηκε on Οκτώβριος 15, 2009 at 01:31  Comments (1)  

The URI to TrackBack this entry is: https://tefcrosmichaelides.wordpress.com/writing/mathematical-news/trackback/

RSS feed for comments on this post.

One CommentΣχολιάστε

  1. Πριν από μερικές ημέρες έλαβα ένα μήνυμα με μια εξαιρετικά ενδιαφέρουσα απορία από τον κ. Γρηγόρη Ζάνταλη, η οποία πιστεύω ότι αξίζει να δημοσιευτεί εδώ μαζί με την απάντηση:

    Κύριε Μιχαηλίδη,

    πρόσφατα διάβασα το βιβλίο σας με τίτλο «Μαθηματικά επίκαιρα» και ένιωσα την
    ανάγκη να σας στείλω αυτό το ηλεκτρονικό μήνυμα για να σας εκφράσω μία
    απορία μου.

    Στο κεφάλαιο 22 με τίτλο «Με σχήματα και με αριθμούς σου λέω σ’ αγαπώ» και
    συγκεκριμένα στην σελίδα 153 γράφετε σε κάποιο σημείο :»Σήμερα το πρόβλημα
    των φίλων αριθμών παραμένει ανοικτό. Δεν γνωρίζουμε αν τα ζεύγη είναι άπειρα ή
    πεπερασμένα, δεν γνωρίζουμε κάποιον αλγόριθμο που να τα παράγει». Παρακάτω στο κεφάλαιο 29 με τίτλο «Βομβαρδίζοντας την ιστορία» και συγκεκριμένα στην σελίδα 194 γράφετε σε κάποιο σημείο :»Ο Θαμπίτ ιμπν Κούρα ανακάλυψε έναν καταπληκτικό τύπο που παράγει ζεύγη φίλων αριθμών». Μόλις διάβασα αυτή την πρόταση το μυαλό μου «έτρεξε» στο κεφάλαιο 22. Αμέσως αναρωτήθηκα πώς είναι δυνατόν στις μέρες μας να μην γνωρίζουμε έναν λογικό μηχανισμό που να παράγει ζεύγη φίλων αριθμών (όπως αναφέρεται στο κεφάλαιο 22), όταν σχεδόν 1100 χρόνια πριν ένας Άραβας μαθηματικός είχε ανακαλύψει τον τύπο για να παράγει ζεύγη φίλων αριθμών. Η απάντηση που έδωσα στον εαυτό μου ήταν ότι ίσως το συγγραφικό έργο του Θαμπίτ ιμπν Κούρα δεν σώζεται στις μέρες μας και έκτοτε κανένας μαθηματικός δεν κατάφερε να ανακαλύψει κάποιον τύπο παραγωγής ζευγαριών φίλων αριθμών. Αμέσως μετά όμως σκέφτηκα ότι αν το συγγραφικό έργο
    του Θαμπίτ ιμπν Κούρα δεν σώζεται, τότε πώς είμαστε σίγουροι ότι όντως είχε
    ανακαλύψει έναν τύπο για να παράγει ζεύγη φίλων αριθμών; Τελικά κατέφυγα στη λύση του διαδικτύου και σε κάποια ιστοσελίδα βρήκα την εξής πληροφορία :»Ο Θαμπίτ ιμπν Κούρα πρώτος έλυσε το πρόβλημα της κατασκευής φίλων αριθμών και διατύπωσε τον εξής κανόνα:

    Αν κ=3.2ν-1, λ=3.2ν-1-1 και ρ=9.22ν-1-1 είναι πρώτοι αριθμοί, τότε οι Μ=2νκλ
    και
    Σ=2νρ είναι φίλοι αριθμοί.»

    Η παραπάνω πληροφορία αναιρεί την απάντηση που έδωσα ο ίδιος στον εαυτό μου
    και με επαναφέρει στην αρχική μου απορία.

    Επειδή δεν είμαι μαθηματικός, αποφάσισα ότι η βέλτιστη λύση (όπως θα έλεγε και
    ένας μαθηματικός) θα ήταν να σας στείλω αυτό το ηλεκτρονικό μήνυμα, όντας σίγουρος ότι η απάντησή σας θα διαλύσει μια και καλή τον προβληματισμό μου.

    —————————————————–

    Αγαπητέ κ. Ζάνταλη,

    Σας ευχαριστώ θερμά για την επιστολή σας. Είναι ιδιαίτερα ευχάριστο για μένα να διαπιστώνω ότι υπάρχουν αναγνώστες που μελετούν με τόσο προσοχή το βιβλίο μου.

    Σχετικά με το ερώτημά σας:

    Στο κεφάλαιο 22 όπως σωστά παρατηρήσατε αναφέρω ότι «Δεν γνωρίζουμε αν τα ζεύγη είναι άπειρα ή πεπερασμένα, δεν γνωρίζουμε κάποιον αλγόριθμο που να τα παράγει».

    Αυτό δεν έρχεται σε καμία αντίφαση με τη μέθοδο του Θαμπίτ ιμπν Κούρα που αναφέρω στο κεφάλαιο 29. Ο πανέμορφος τύπος του Θαμπίτ ιμπν Κούρα τον οποίο σωστά βρήκατε στο διαδίκτυο (μόνο που το internet κακοποίησε τους εκθέτες) έχει ως εξής:

    Αν οι αριθμοί κ=3•[2^(ν)]-1, λ=3•[2^(ν-1)]-1 και ρ=9•[2^(2ν-1)]-1 είναι και οι τρεις πρώτοι μεγαλύτεροι του 2 τότε οι αριθμοί Μ=[2^(ν)]•κ•λ και Σ=[2^(ν)]•ρ είναι φίλοι.

    Αν κάνετε τον σχετικό πίνακα για ν = 1, 2, …6 [ο οποίος δυστυχώς δεν μπορεί να αναπαραχθεί εδώ], θα παρατηρήσετε τα ακόλουθα:

    Για ν=2 και για ν=4 έχουμε δυο γνωστά ζευγάρια φίλων αριθμών ενώ για ν=1,3,5,6 δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση να είναι και οι τρεις κ, λ, ρ πρώτοι μεγαλύτεροι του 2 . Βλέπετε ότι ο τύπος του ιμπν Κούρα ήδη «έχασε» το ζεύγος του Παγκανίνι (1184 , 1210). Άρα ο τύπος αυτός δεν παράγει όλα τα ζεύγη των φίλων αριθμών (αυτό είναι το ένα ανοικτό πρόβλημα που αναφέρω και είναι πράγματι ανοικτό) αλλά μερικά από αυτά. Επίσης αυτός ο τύπος δεν απαντά στο ερώτημα αν το πλήθος των φίλων αριθμών είναι πεπερασμένο ή άπειρο γιατί δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε πόσες από τις τριάδες κ,λ,ρ που θα παραχθούν από αυτόν θα ικανοποιούν την προϋπόθεση «να είναι και οι τρεις κ, λ, ρ πρώτοι μεγαλύτεροι του 2».

    Είμαστε λοιπόν ακριβώς στο σημείο που περιγράφω στα κεφάλαια 22 και 29: έχουμε ένα τύπο που παράγει αρκετά ζεύγη φίλων αριθμών(αλλά σίγουρα όχι όλα). Δεν γνωρίζουμε αν τα ζεύγη που παράγει αυτός ο τύπος είναι πεπερασμένα ή άπειρα ούτε αν τα ζεύγη που ΔΕΝ παράγονται από αυτό τον τύπο είναι πεπερασμένα ή άπειρα.
    Είναι εντυπωσιακό αλλά όχι πρωτοφανές ότι 1100 χρόνια δεν ήταν αρκετά για να περάσουμε από ένα τύπο που παράγει ζεύγη φίλων αριθμών σ’ ένα τύπο που παράγει όλα τα ζεύγη των φίλων αριθμών. Τέτοιες καταστάσεις δεν είναι καθόλου ασυνήθιστες στα μαθηματικά και συνιστούν (κατά τη γνώμη μου) την ομορφιά τους.
    Ελπίζω να απάντησα στην απορία σας.

    Φιλικά

    Τεύκρος Μιχαηλίδης


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: